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實數(shù)基本定理及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)證明
§1. 關于實數(shù)的基本定理
一 子列 定義1 在數(shù)列 EMBED Equation.DSMT4 中，保持原來次序自左至右任一選區(qū)無限多項，構成新的數(shù)列，就稱為 EMBED Equation.DSMT4 的子列，記為 EMBED Equation.DSMT4 。 子列的極限和原數(shù)列的極限的關系
定理1 EMBED Equation.DSMT4 若 EMBED Equation.DSMT4 ，則 EMBED Equation.DSMT4 的任何子列 EMBED Equation.DSMT4 都收斂，并且它的極限也等于 EMBED Equation.DSMT4 。
注：該定理可用來判別 EMBED Equation.DSMT4 不收斂。 例：證明 EMBED Equation.DSMT4 不收斂。
推論：若對任何 EMBED Equation.DSMT4 ： EMBED Equation.DSMT4 都有 EMBED Equation.DSMT4 收斂，則 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 的極限存在。
二 上確界和下確界 上確界的定義，下確界的定義
定理2 非空有上界數(shù)集必有上確界;非空有下界數(shù)集必有下確界。
定理3 單調(diào)有界數(shù)列必收斂.
三 區(qū)間套定理 區(qū)間套: 設 EMBED Equation.DSMT4 是一閉區(qū)間序列. 若滿足條件
�、�> 對 EMBED Equation.DSMT4 , 有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ;
�、�> EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .
則稱該閉區(qū)間序列為為區(qū)間套 .
注：區(qū)間套是指一個 “閉、縮、套” 區(qū)間列.( 都不是).
例： EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 都是區(qū)間套.但 EMBED Equation.DSMT4
定理4設 EMBED Equation.DSMT4 是一閉區(qū)間套. 則存在唯一的點 EMBED Equation.DSMT4 屬于所有的區(qū)間。
注：區(qū)間套中的任何一個條件去掉，定理一般將不成立。
四 致密性定理
定理5 任一有界數(shù)列必有收斂子列。
推論 若 EMBED Equation.DSMT4 是一個無界數(shù)列，則存在子列 EMBED Equation.DSMT4 。
五 Cauchy收斂原理
定理6 數(shù)列 EMBED Equation.DSMT4 收斂 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 當 EMBED Equation.DSMT4 時，有 EMBED Equation.DSMT4 。
注：定理可通過數(shù)列本身來判別它收斂還是發(fā)散。
例：設 EMBED Equation.DSMT4 ，證明 EMBED Equation.DSMT4 發(fā)散。
例：設 EMBED Equation.DSMT4 ，證明 EMBED Equation.DSMT4 收斂。
六 有限覆蓋定理 復蓋: 先介紹區(qū)間族 EMBED Equation.DSMT4 .
定義 (復蓋 )：設 EMBED Equation.DSMT4 是一個數(shù)集, EMBED Equation.DSMT4 是區(qū)間族.若對 EMBED Equation.DSMT4 使得 EMBED Equation.DSMT4 , 則稱區(qū)間族 EMBED Equation.DSMT4 復蓋了 EMBED Equation.DSMT4 , 或稱區(qū)間族 EMBED Equation.DSMT4 是數(shù)集 EMBED Equation.DSMT4 的一個復蓋. 記為 EMBED Equation.DSMT4 若每個 EMBED Equation.DSMT4 都是開區(qū)間，則稱區(qū)間族 EMBED Equation.DSMT4 是開區(qū)間族.開區(qū)間族常記為 EMBED Equation.DSMT4 .
定義 (開復蓋 )：數(shù)集 EMBED Equation.DSMT4 的一個開區(qū)間族復蓋稱為 EMBED Equation.DSMT4 的一個開復蓋,簡稱為 EMBED Equation.DSMT4 的一個復蓋.
子復蓋、有限復蓋、有限子復蓋.
例： EMBED Equation.DSMT4 復蓋了區(qū)間 EMBED Equation.DSMT4 , 但不能復蓋 EMBED Equation.DSMT4 。
定理7 閉區(qū)間 EMBED Equation.DSMT4 的任一開復蓋必有有限子復蓋。
注：在定理的條件中，若 EMBED Equation.DSMT4 不是開區(qū)間集，或 EMBED Equation.DSMT4 為非閉區(qū)間，則從 EMBED Equation.DSMT4 中就不一定能選出有限個區(qū)間來覆蓋。
§2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明
一 有界性定理 定理1 閉區(qū)間 EMBED Equation.DSMT4 上的連續(xù)函數(shù)必定有界。
注：開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)既可能有界，也可能無界。
二 最大值和最小值定理 定理2 閉區(qū)間 EMBED Equation.DSMT4 上的連續(xù)函數(shù)必定有最大值和最小值。
三 零點存在定理 定理3 EMBED Equation.DSMT4 在閉區(qū)間 EMBED Equation.DSMT4 連續(xù)，且 EMBED Equation.DSMT4 ，則 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 內(nèi)至少有一個根。
證法一(用區(qū)間套定理); 證法二(用確界原理); 證法三 (用有限復蓋定理)。
四 一致連續(xù)性定理 定理4 閉區(qū)間 EMBED Equation.DSMT4 上的連續(xù)函數(shù) EMBED Equation.DSMT4 必定一致連續(xù)。
證法一 (用區(qū)間套定理); 證法二 (用致密性定理)。
武夷學院經(jīng)濟與數(shù)學系 《數(shù)學分析》 授課教案
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